問題概要

$N+1$ 頂点のグラフ$G$のうち、 $N$ 頂点の次数が数列$a_1,\dots,a_N$として与えられている。$G$が単純無向グラフであるとき、残り1頂点の次数$a_{0}$としてありうるものをすべて答えよ。

制約

$1\leq N\leq 5\times10^5$
$0 \leq a_i \leq N$

解法

問題文に貼られたリンク Graph realization problem - Wikipedia から Erdős–Gallai theorem - Wikipedia を見つけることが重要だった。

Erdős–Gallai theorem

$d_0\geq\dots\geq d_N$がある$N+1$頂点単純無向グラフの次数の列となっていることは、次の2条件を満たすことと同値：

$\displaystyle\sum_{i=0}^N d_i \equiv 0~({\rm mod}~2)$
$\displaystyle\sum_{i=0}^k d_i\leq k(k+1) + \sum_{i=k+1}^N \min(d_i,k+1) ~~(k = 0,\dots, N)$.

Editorial解

Erdős–Gallai theoremを$a_{0}=0,\dots,N$についてすべて調べると$\mathcal O(N^2)$になってしまう。しかし実は$X<Y$の2数が答えに含まれるとき、$Z \equiv X~({\rm mod}~2)$かつ$X<Z<Y$なる$Z$は答えになる（Good Bye 2018 — Editorial - Codeforces）。従って二分探索の要領で$\mathcal O(\log N)$個の$a_{0}$について、Erdős–Gallai theoremの条件が成立するか確かめれば解ける。$a_{0}$を固定したとき$\mathcal O(N)$で確かめられるので、全体で$\mathcal O(N\log N)$。

Segment tree 解

答えが区間になることが分かっていなくても解ける。$a_0,\dots,a_N$を昇順に並べ替えた数列を$b_0\geq\dots\geq b_N$とする。また、$\displaystyle B_i :=i(i+1) +\sum_{j=i+1}^N \min(b_j,i+1)-\sum_{j=0}^i b_j$とする。すると$\min_{i=0}^N B_i\geq 0$のときErdős–Gallai theoremの条件を満たすこととなる。

例として$N=10, \{a_i\} = \{a_0, 2, 3, 4, 9, 8, 5, 2, 10, 5, 3\}$とし、$a_0$ の値を変えながら計算してみる。色付きは$a_0$を$j-1\to j$に変えたとき値が変化していることを示す。

$a_0 = 0$

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$b_i$	10	9	8	5	5	4	3	3	2	2	0
$\displaystyle\sum_{j=0}^i b_j$	10	19	27	32	37	41	44	47	49	51	51
$\displaystyle i(i+1)$	0	2	6	12	20	30	42	56	72	90	110
$\displaystyle\sum_{j=i+1}^N \min(b_j,i+1)$	9	16	19	18	14	10	7	4	2	0	0
$\displaystyle B_i$	-1	-1	-2	-2	-3	-1	5	13	25	39	59

$a_0 = 1$

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$b_i$	10	9	8	5	5	4	3	3	2	2	$\color{red}{1}$
$\displaystyle\sum_{j=0}^i b_j$	10	19	27	32	37	41	44	47	49	51	$\color{red}{52}$
$\displaystyle i(i+1)$	0	2	6	12	20	30	42	56	72	90	110
$\displaystyle\sum_{j=i+1}^N \min(b_j,i+1)$	$\color{red}{10}$	$\color{red}{17}$	$\color{red}{20}$	$\color{red}{19}$	$\color{red}{15}$	$\color{red}{11}$	$\color{red}{8}$	$\color{red}{5}$	$\color{red}{3}$	$\color{red}{1}$	0
$\displaystyle B_i$	$\color{red}{0}$	$\color{red}{0}$	$\color{red}{-1}$	$\color{red}{-1}$	$\color{red}{-2}$	$\color{red}{0}$	$\color{red}{6}$	$\color{red}{14}$	$\color{red}{26}$	$\color{red}{40}$	$\color{blue}{58}$

$a_0 = 2$

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$b_i$	10	9	8	5	5	4	3	3	2	2	$\color{red}{2}$
$\displaystyle\sum_{j=0}^i b_j$	10	19	27	32	37	41	44	47	49	51	$\color{red}{53}$
$\displaystyle i(i+1)$	0	2	6	12	20	30	42	56	72	90	110
$\displaystyle\sum_{j=i+1}^N \min(b_j,i+1)$	9	$\color{red}{18}$	$\color{red}{21}$	$\color{red}{20}$	$\color{red}{16}$	$\color{red}{12}$	$\color{red}{9}$	$\color{red}{6}$	$\color{red}{4}$	$\color{red}{2}$	0
$\displaystyle B_i$	0	$\color{red}{1}$	$\color{red}{0}$	$\color{red}{0}$	$\color{red}{-1}$	$\color{red}{1}$	$\color{red}{7}$	$\color{red}{15}$	$\color{red}{27}$	$\color{red}{41}$	$\color{blue}{57}$

$a_0 = 3$

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$b_i$	10	9	8	5	5	4	3	3	$\color{red}{3}$	2	2
$\displaystyle\sum_{j=0}^i b_j$	10	19	27	32	37	41	44	47	$\color{red}{50}$	$\color{red}{52}$	$\color{red}{54}$
$\displaystyle i(i+1)$	0	2	6	12	20	30	42	56	72	90	110
$\displaystyle\sum_{j=i+1}^N \min(b_j,i+1)$	9	18	$\color{red}{22}$	$\color{red}{21}$	$\color{red}{17}$	$\color{red}{13}$	$\color{red}{10}$	$\color{red}{7}$	4	2	0
$\displaystyle B_i$	0	1	$\color{red}{1}$	$\color{red}{1}$	$\color{red}{0}$	$\color{red}{2}$	$\color{red}{8}$	$\color{red}{16}$	$\color{blue}{26}$	$\color{blue}{40}$	$\color{blue}{56}$

$a_0 = 4$

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$b_i$	10	9	8	5	5	4	$\color{red}{4}$	3	3	2	2
$\displaystyle\sum_{j=0}^i b_j$	10	19	27	32	37	41	$\color{red}{45}$	$\color{red}{48}$	$\color{red}{51}$	$\color{red}{53}$	$\color{red}{55}$
$\displaystyle i(i+1)$	0	2	6	12	20	30	42	56	72	90	110
$\displaystyle\sum_{j=i+1}^N \min(b_j,i+1)$	9	18	22	$\color{red}{22}$	$\color{red}{18}$	$\color{red}{14}$	10	7	4	2	0
$\displaystyle B_i$	0	1	1	$\color{red}{2}$	$\color{red}{1}$	$\color{red}{3}$	$\color{blue}{7}$	$\color{blue}{15}$	$\color{blue}{25}$	$\color{blue}{39}$	$\color{blue}{55}$

$a_0 = 5$

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$b_i$	10	9	8	5	5	$\color{red}{5}$	4	3	3	2	2
$\displaystyle\sum_{j=0}^i b_j$	10	19	27	32	37	$\color{red}{42}$	$\color{red}{46}$	$\color{red}{49}$	$\color{red}{52}$	$\color{red}{54}$	$\color{red}{56}$
$\displaystyle i(i+1)$	0	2	6	12	20	30	42	56	72	90	110
$\displaystyle\sum_{j=i+1}^N \min(b_j,i+1)$	9	18	22	22	$\color{red}{19}$	14	10	7	4	2	0
$\displaystyle B_i$	0	1	1	2	$\color{red}{2}$	$\color{blue}{2}$	$\color{blue}{6}$	$\color{blue}{14}$	$\color{blue}{24}$	$\color{blue}{38}$	$\color{blue}{54}$

$a_0 = 6$

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$b_i$	10	9	8	$\color{red}{6}$	5	5	4	3	3	2	2
$\displaystyle\sum_{j=0}^i b_j$	10	19	27	$\color{red}{33}$	$\color{red}{38}$	$\color{red}{43}$	$\color{red}{47}$	$\color{red}{50}$	$\color{red}{53}$	$\color{red}{55}$	$\color{red}{57}$
$\displaystyle i(i+1)$	0	2	6	12	20	30	42	56	72	90	110
$\displaystyle\sum_{j=i+1}^N \min(b_j,i+1)$	9	18	22	22	19	14	10	7	4	2	0
$\displaystyle B_i$	0	1	1	$\color{blue}{1}$	$\color{blue}{1}$	$\color{blue}{1}$	$\color{blue}{5}$	$\color{blue}{13}$	$\color{blue}{23}$	$\color{blue}{37}$	$\color{blue}{53}$

ここから、$a_0$を$j-1\to j$に変えたとき、 $pos =\displaystyle\sum_{k=1}^N \mbox{1}\hspace{-0.25em}\mbox{l}_{\{a_k\geq j\}}$とすると

$i=pos,\dots,n$では$B_i$が1減る
$i=j-1,\dots,pos-1$では$B_i$が1増える

ことがわかる。$B$に上記の変更をした後、$\displaystyle\min_{i=0}^N B_i\geq 0$かどうかを確かめる、という操作を$j=1,\dots,N$について行うことで解ける。これは区間add-区間minのSegment Treeを使うと$\mathcal O(N\log N)$。

解答例

#include <bits/stdc++.h>

using LL = long long;
constexpr LL LINF = 334ll << 53;
constexpr int INF = 15 << 26;

namespace Problem {
using namespace std;
struct RangeMin {
  using T = long long;
  T operator()(const T &a, const T &b) { return min(a, b); }
  static constexpr T id() { return T(LINF); };
};

struct RangeAdd {
  using T = long long;
  T operator()(const T &a, const T &b) { return a + b; };
  static constexpr T id() { return T(0); };
};

struct Min_Add {
  using V = RangeMin;
  using A = RangeAdd;
  V::T operator()(const V::T &a, const A::T &b, const int &h) { return a + b; };
};

template <typename M>
struct LazySegmentTree {
  using Val = typename M::V::T;
  using Del = typename M::A::T;
  typename M::V calc;
  typename M::A composite;
  M act;
  vector<Val> val;
  vector<Del> delay;

  int n, height;
  explicit LazySegmentTree(int size) : n(1), height(0) {
    while (n < size) {
      n <<= 1;
      ++height;
    }
    val = vector<Val>(n << 1, calc.id());
    delay = vector<Del>(n << 1, composite.id());
  }
  explicit LazySegmentTree(vector<Val> &v) : n(1), height(0) {
    while (n < v.size()) {
      n <<= 1;
      ++height;
    }
    val = vector<Val>(n << 1, calc.id());
    delay = vector<Del>(n << 1, composite.id());
    copy(v.begin(), v.end(), val.begin() + n);
    for (int i = n - 1; i > 0; --i) {
      val[i] = calc(val[i * 2], val[i * 2 + 1]);
    }
  }
  void propagate(int k, int h) {
    val[k] = act(val[k], delay[k], h);
    if (h > 0) {
      delay[2 * k] = composite(delay[2 * k], delay[k]);
      delay[2 * k + 1] = composite(delay[2 * k + 1], delay[k]);
    }
    delay[k] = composite.id();
  }
  inline void update(int l, int r, Del v) { update(l, r, v, 1, 0, n, height); }
  void update(int l, int r, Del v, int k, int a, int b, int h) {
    if (l <= a && b <= r) {
      delay[k] = composite(delay[k], v);
      propagate(k, h);
      return;
    }
    propagate(k, h);
    if (b <= l || r <= a) {
      return;
    }  //
    update(l, r, v, 2 * k, a, (a + b) / 2, h - 1);
    update(l, r, v, 2 * k + 1, (a + b) / 2, b, h - 1);
    val[k] = calc(val[2 * k], val[2 * k + 1]);
  }
  inline Val query(int l, int r) { return query(l, r, 1, 0, n, height); }
  Val query(int l, int r, int k, int a, int b, int h) {
    if (b <= l || r <= a) {
      return calc.id();
    }  //
    propagate(k, h);
    if (l <= a && b <= r) {
      return val[k];
    }
    Val vall = query(l, r, 2 * k, a, (a + b) / 2, h - 1);
    Val valr = query(l, r, 2 * k + 1, (a + b) / 2, b, h - 1);
    return calc(vall, valr);
  }
};

class Solver {
 public:
  int n;
  vector<LL> a, r, sum;
  Solver(LL n) : n(n), a(n + 1), r(n + 2), sum(n + 1){};

  void solve() {
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      cin >> a[i + 1];
    }
    sort(a.rbegin(), a.rend());
    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
      r[a[i]] = i+1;
    }
    for (int i = n; i >= 0; --i) {
      r[i] = max(r[i], r[i + 1]);
    }
    sum[0] = a[0];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
    }
    //a[0]=0のときのBを計算
    vector<LL> v(n + 1);
    for (LL k = 0; k <= n; ++k) {
      LL lhs = sum[k];
      LL rhs = k * (k + 1);
      if (r[k + 1] >= k + 1) {
        rhs += (r[k + 1] - (k + 1) ) * (k + 1);
        rhs += sum[n] - sum[r[k + 1]-1];
      } else {
        rhs += sum[n] - sum[k];
      }
      v[k] = rhs - lhs;
    }

    LazySegmentTree<Min_Add> seg(v);
    vector<LL> ans;
    if (sum[n]%2==0 && seg.query(0, n + 1) >= 0) {
      ans.push_back(0);
    }
   //a[0]を増やしながらErdős–Gallai theoremの条件を確認
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      LL pos = r[i] ;
      r[i]++;
      seg.update(pos, n + 1, -1);
      seg.update(i - 1, pos, 1);
      if ((sum[n] + i) % 2 == 0 && seg.query(0, n + 1) >= 0) {
        ans.push_back(i);
      }
    }

    //output
    if (ans.size() == 0) {
      cout << -1 << "\n";
      return;
    }
    for (int i = 0; i < (int)ans.size(); ++i) {
      cout << ans[i] << ' ';
    }
    cout << endl;
  }
};

}  // namespace Problem

int main() {
  std::cin.tie(0);
  std::ios_base::sync_with_stdio(false);
  long long n = 0;
  std::cin >> n;

  Problem::Solver sol(n);
  sol.solve();
  return 0;
}